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三次函数是形如f(x)等于ax的三次方加bx的二次方加cx加d的函数，其中a不等于零。三次函数具有重要的基本性质：定义域为实数集R，值域也为实数集R，在整个定义域上没有最大值和最小值。图中展示了一个典型的三次函数及其导数，红色曲线是导数函数，黄色点标出了函数的极值点。
三次函数的单调性完全由其导数的判别式决定。当判别式小于零时，导数恒为正，函数在整个实数轴上单调递增，如蓝色曲线所示。当判别式大于零时，导数有两个零点，函数有两个极值点，呈现先增后减再增的变化趋势，如红色曲线所示。黄色点标出了极值点的位置。
三次方程的实根个数由导数的判别式和极值的符号共同决定。当判别式小于零时，函数单调，与x轴只有一个交点，如蓝色曲线。当判别式大于零时，函数有两个极值点。如果两个极值同号，仍只有一个实根；如果两个极值异号，则有三个不相等的实根，如红色曲线所示。黄色点标出了与x轴的交点，绿色点标出了极值点。
三次函数具有重要的对称性质。每个三次函数都是中心对称曲线，对称中心的横坐标等于负b除以3a，这个点同时也是导函数对称轴上的点，并且是两个极值点的中点。图中红色点标出了对称中心，绿色点是两个极值点，橙色虚线显示了对称关系，灰色虚线是通过对称中心的垂直线。
通过一个具体例题来理解三次函数零点问题。对于函数f(x)等于x的三次方减3x加m，我们首先求导得到f'(x)等于3x的平方减3，令导数为零得到极值点x等于正负1。计算极值：f(-1)等于2加m，f(1)等于负2加m。要使函数有三个零点，需要两个极值异号，即f(-1)大于0且f(1)小于0，解得m的取值范围是负2到2之间。