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抽象代数是数学的一个重要分支，研究代数结构的抽象性质。今天我们将介绍几个基础概念：像与逆像、函数组合、以及双射函数。这些概念是理解群、环、域等代数结构的重要基础。让我们从函数的基本概念开始。
像是函数将输入映射到输出的结果。对于集合S，它的像f(S)包含所有S中元素经过函数f映射后得到的元素。逆像则相反，对于输出集合T，它的逆像包含所有映射到T中的输入元素。例如，集合{1,2}的像是{a,b}，而元素a的逆像是{1,3}，因为1和3都映射到a。
函数组合是将两个函数连接起来形成新函数的操作。如果有函数f从集合A到集合B，函数g从集合B到集合C，那么组合函数g∘f从集合A直接到集合C。对于任意元素x，组合函数的作用是先应用f得到f(x)，然后对f(x)应用g得到g(f(x))。这样我们就得到了从A到C的直接映射。
双射函数是既是单射又是满射的函数。单射意味着不同的输入对应不同的输出，满射意味着每个输出都至少有一个对应的输入。当函数既是单射又是满射时，就建立了两个集合之间的一一对应关系。双射函数的重要性质是它存在逆函数，可以从输出唯一地确定输入。这在抽象代数中非常重要，因为它保证了结构的可逆性。
总结一下，我们今天学习了抽象代数中的三个基础概念。像与逆像帮助我们理解函数如何在集合之间建立联系，函数组合让我们能够构造更复杂的映射关系，而双射函数则保证了结构之间的完全对应。这些概念在群论、环论、域论等抽象代数分支中都有重要应用，是理解同态、同构等高级概念的基础。掌握这些基本概念，将为进一步学习抽象代数打下坚实的基础。